Théorie des équations

 

règle générale

Ce que je fais à gauche, je dois aussi le faire à droite.

A + B = C + D

F est ajouté

+ F:     A + B + F = C + D + F

 

Équations avec un x inconnu

la valeur de x est recherchée.

approche

l’équation est suffisamment simplifiée pour ne laisser que l’inconnue à gauche ou à droite

a + b = c

On résout donc pour x :

Application de la règle :

soustraire b puis diviser par a

= ax + b – b = c – b et il reste ax = c – b, la division par a donne ax/a = c – b/a

x = c – b/a

Vérifier : nous insérons maintenant ce résultat de x dans ax + b = c :

a(c – b)/a + b = c et on obtient : a disparaît et c – b + b = c reste.

Plus d’exemples d’équations à 1 inconnue

1/y = 1/2, cherché y : on inverse la fraction et on obtient y = 2 contrôle ½ = ½

1/z = z/2, recherché z : inverser la fraction donne z = 2/z puis multiplier par z :

z² = 2 il s’ensuit que z = √2

Contrôle 1/√2 = √2/2 ou 2exp-½ = 2exp(½ – 1)

x² = a, x = √a

Contrôle √a*√a = a

1/y = y – 1 multiplier par y donne : y² – y = 1

maintenant nous avons déjà une équation du second degré ou une

équation quadratique 

cela a la forme

ax² + bx + c = 0

y² – y – 1 = 0

La solution est nommée discriminante,

D = b² – 4ac

Si D > 0 (D supérieur à 0) il existe 2 solutions

x(1) = -b + √D/2a,

x(2) = -b – √D/2a

Si D = 0 il y a 1 solution

x(1)= x(2) = – b/2a

Si D < 0 il n’y a pas de solutions

Revenons à l’exemple :

y² – y – 1 = 0

D = 1 + 4 = 5  

soit (-1*-1)  -[4*1*(-1)] = 4

y1 = (1 + √5)/2

y2 = (1 – √5)/2

Donc cette équation a 2 solutions

Dérivation du discriminant

Qui ne les connaît pas, l’équation quadratique :

ax² + bx + c = 0

Presque toutes les disciplines professionnelles ou académiques entrent en contact avec cette équation. Que ce soit la Matura, l’Abitur, le baccalauréat professionnel, le lycée technique ou l’université à orientation scientifique, technique ou économique.

La solution de cette équation est simple, si vous connaissez au moins le discriminant : D = b² – 4ac. Si D est positif et > 0 on obtient 2 solutions, si D = 0 une solution. Si D < 0, l’équation des nombres réels, R, ne contient pas de solution. (voir Bases mathématiques)

Cependant, ne mémorisez pas la formule de discrimination relativement simple !

Dérivez simplement D en substituant dans l’équation ax² + bx + c = 0, des nombres qui ne donnent qu’une seule solution pour x.

Dans Mathematical Basics vous trouverez la formule du binôme : (a + b)² sous “Relations importantes” aboutit à la décomposition a² + 2ab + b²

Pour cette équation, ax² + bx + c = 0, nous cherchons maintenant celui dont x1 = x2.

Nous décomposons maintenant une formule binomiale (2 + 1) ² = 4 + 4 + 1. Nous substituons maintenant ce résultat dans l’équation quadratique au lieu de a, b et c :

4x² + 4x + 1 = 0, cette équation n’a qu’une seule solution : x1 = x2 = -1/2.

nous calculons 4*(-0.5)² + 4(-0.5) -1 = 1 – 2 + 1 = 0

Ce résultat x = -1/2 satisfait également l’équation 2x + 1 = 0, donc 4x² + 4x + 1 = 0 n’a qu’une seule solution x1 = x2 = -1/2.

En général on peut écrire : -1/2 = -b/2a, car -4/2*4 = -1/2.

On détermine maintenant le discriminant D : Comme on le sait, l’équation quadratique n’a 2 solutions différentes que si D > 0. Une équation racine du format x² + a = 0

Si la solution est √a, si a = 4, alors x1 = 2 et x2 = -2. Donc le discriminant D doit être une racine.

Dans l’équation quadratique ax² + bx + c = 0 nous insérons maintenant une solution présumée de l’équation x = -b/2a + √D/2a au lieu de x et obtenons ce qui suit :

a*{(-b -√D)/2a}² + b(-b -√D)/2a + c = 0, multiplier, raccourcir avec a et rendre le dénominateur identique :

(b² + 2b√D + D -2b² – 2b√D + 4ac)/4a = 0, simplifier et faire disparaître les racines

– b² + D + 4ac = 0, et maintenant résoudre pour D D = b² – 4ac

Formule Excel pour résoudre l’équation quadratique :

ax² + bx + c = 0,

a=A1, b=B1, c=C1

Entrez les nombres réels a,b et c dans n’importe quelle cellule vide

Discriminant = B1*B1-4*A1*C1

x1 = (-B1+SQR(B1*B1-4*A1*C1))/2*A1

x2 = -B1+SQR(B1*B1-4*A1*C1)/2*A1

Système d’équations à 2 inconnues

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

 

résoudre d’abord pour x1 : x1 = (b1 – a12x2)/a11

insérer dans la 2ème équation et résoudre pour x2 x2 = (b2a11 – a21b1)/(a22a11 – a21a12)

Nous utilisons à nouveau cette valeur dans la première équation et résolvons pour x1.

Résultats:

x1 = (a22b1 – a12b2)/(a11a22 – a21a12)

x2 = (a11b2 – a12b1)/(a11a22 – a21a12)

EXERCICE : Vérifier en insérant les solutions de x1 et x2 dans l’équation ci-dessus à 2 inconnues.

Equation à 2 inconnues, solution à déterminants :

 

 

équations du troisième degré

ax³ + bx² + cx + d = 0

Fonctions polynomiales et théorème de Vieta

degré 0 = fonction constante, f(x) = a

degré 1 = fonction linéaire, f(x) = ax + b, quand x = 0, la valeur de f(x) est b, il n’y a qu’une seule solution

degré 2 = fonction quadratiuqe, f(x) = ax² + bx + c, elle n’a pas plus de 2 solutions ou niveaux zéro

degré 3 = ploynomfonction 3ème degré, f(x) =ax³ + bx² + cx + d. Cette fonction a au maximum 3 solutions ou niveaux zéro. Vous pourrez peut-être concevoir un graphique sur une feuille de papier pour trouver les solutions graphiquement.

Cette fonction a 3 niveaux zéro. Ces niveaux zéro (x1, x2 et x3) sont la solution de l’équation. Exemple:

2x³ – 12x² + 22x – 12 = 0

Le premier que vous pouvez trouver en mettant des chiffres directement dans cette équation.

Essayons de choisir avec des chiffres comme 1:

2*1*1*1 -12*1*1 +22*1 – 12 = 0,  et voilà, c’est la première solution x1 = 1

Maintenant, avant d’obtenir la 2ème et la 3ème solution, examinons qu’il y a les relations comme suit :

Surtout pour cette équation cubique, ax³ + bx² + cx + d = 0

il existe trois relations utiles:

x1 + x2 + x3 = -b/a

x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a

x1*x2*x3 = -d/a

Bien connu, comme le théorème de Vieta

As we now have the first result, x1 =1

bien connu, comme le théorème de Vieta.

Nous pouvons utiliser l’un des systèmes d’équations à deux inconnues suivants pour obtenir les deux autres résultats, grace à Vieta :

Pour cet exemple  2x³ – 12x² + 22x – 12 = 0

a)  1 + x2 + x3 = -(-12/2) = 6,  x2 = 6 – 1 – x3 = 5 – x3

b) 1*x2*x3 = -(-12/2) = 6

x2 = 5 – x3 vous remplacez x2 d’équation  b)

1*(5 – x3)*x3 = 6 vous obtenez l’équation quadratique: -x3² + 5×3 – 6 = 0 (voir ci-dessus!)

Solutions de x2 et x3 sont:

x2 = 2

x3 = 3

Maintenant les trois solutions sont trouvées, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

Contrôle: 2x³ – 12x² + 22x – 12 = 0

Pour x1 = 1 (voir ci-dessus)

x2 = 2, 16 – 48 + 44 – 12 = 0.

x3 = 3, 54 – 108 + 66 – 12 = 0

Un autre exemple:

f(x) = 2x³ + x² – 3x + 1 =0

D’abord on vous recommende de faire une liste comme suit:

x            f(x)

0            1

0.6        -0.008

0.4         0.088

1             1

-1            3

-1.5        1

-1.7       -0.836

-0.5      2.5

-0.1      1.3

10         2071

-10       -202

Essayons maintenant sur vous-même, trouvez les trois points zéro de cette fonction.

f(x) = 2x³ + x² – 3x + 1 =0 vous pouvez utiliser la formule Excel comme suit:

2*A1*A1*A1 + A1*A1 – 3*A1 + 1

les résultats que vous trouverez au bas de cette page:

Donnons maintenant une preuve du théorème de Vieta:

Voilà une équation du troisième degré qui se présente comme suit:

(x – l)*(x – m)*(x -n) = 0

C’est sans doute que les résultats se trouvent facilement: x1 = l, x2 = m et x3 = n

Nous allons maintenant multiplier cette équation (x – l)*(x – m)*(x -n) = 0

et vous recevez:

x³ – (l + m + n)x² + (l*m + l*n + m*n)x – l*m*n = 0

a = 1, b = -(l + m + n), c =  (l*m + l*n + m*n)  et d = -l*m*n

Maintenant, nous mettons les trois solutions x1 = l, x2 = m et x3 = n dans les trois théorèmes de Vieta

x1 + x2 + x3 = -b/a soit l  + m + n = -{-(l + m + n)}/l = l + m + n

x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a alors  l*m + m*n + n*l =  (l*m + m*n + n*l)/1,  (a = 1)! soit = l*m + m*n + n*l

x1*x2*x3 = -d/a alors d = -l*m*n soit -(-l*m*n)/1 = l*m*n

Retournons à l’exemple f(x) = 2x³ + x² – 3x + 1 =0

x1 = 0.5

x2 = -(1 + √5)/2

x3 = -(1 – √5)/2

 

Équations différentielles

f ’(x) = f(x) – a

f ’’(x) = -Da

Dans ces équations, l’inconnue recherchée est une fonction spécifique f(x)

Système d’équations à 3 inconnues ou plus

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Les chemins de solution sont effectués à l’aide de la méthode des déterminants

Solutions ci-dessous et dans les cours supérieurs

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