Introduction au calcul différentiel

Informations générales sur les fonctions

Le nom le plus courant pour une fonction en mathématiques est f(x). Au lieu de cela, n’importe quelle autre lettre peut représenter f : q(x), s(x), p(x) etc. Les lettres grecques sont souvent utilisées en physique.

Il en va de même pour la variable x. Souvent, on écrit aussi y, z, t ou on utilise des lettres grecques.

Le x dans f(x) est n’importe quel nombre réel à partir duquel une valeur associée est attribuée à la fonction.

Les nombres réels sont tous des nombres, y compris ceux comportant des fractions décimales infinies et apériodiques, mais sans nombres alphabétiques (sans lettres). Cela inclut les nombres entiers (1, 2, 3…) et les nombres naturels (…-2, -1, 0, 1, 2…), les nombres rationnels, avec des fractions décimales terminales et répétitives (par exemple ¼ , = 0,25, 1/3 = 0,33333333…) et les nombres irrationnels à fractions décimales apériodiques et infinies (par exemple le nombre Phi 3,14…..). La définition pure des nombres réels est abstraite et est traitée en mathématiques supérieures.

À partir de ce x de f(x), la valeur de la fonction est calculée ou attribuée.

Cette valeur de la fonction f(x) peut être n’importe quelle variable. Par exemple, la température, la vitesse, un montant (par exemple en dollars, $ ou en livres, £), la densité de population ou toute autre quantité mesurable.

Il n’est pas nécessaire que la fonction ait une formule mathématiquement dérivée, mais on en recherche généralement une.

Cependant, une fonction peut être représentée sous forme de tableau et de graphique.

La fonction pour la paire de devises EURO/USD (Euro versus US$) est la fonction qui représente la valeur de cette paire de devises en euro à un instant donné. La valeur est basée sur les conditions du marché respectives. On ne peut en déduire une formule mathématique, sinon il n’y aurait pas de marchés.

Quelques formules de fonctions mathématiques sont brièvement répertoriées ici :

Les fonctions polynomiales

f(x) = ax² + bx + c

nous la connaissons déjà sous le nom d’équation quadratique et il s’agit d’une équation du 2e degré, dont il a été question ci-dessus.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Il s’agit d’une fonction du 3ème degré. Les approches de solution ont été présentées ci-dessus sous la forme du théorème de Vieta.

Fonctions rationnelles

f(x) =  [f1 (x)] / [f2 (x)] ou

f(x) =1 / f(x) z.B. f(x) = 1/x

D’autres exemples :

• (x – a)/(b + x)
• 1/[1 + √(1 + ax)]
• 1/x, voir croquis ci-dessous : Ceci est une hyperbole

Il est à noter que ces fonctions présentent des lacunes dans la définition, le dénominateur ne doit pas être nul, puisque la division par 0 est « interdite ».

Fonctions de puissance

f(x) = x ª

L’exposant peut être un nombre réel (positif ou négatif)

graphique

f(x) = x¹⁄ª = ª√x est la fonction inverse de xª ou une fonction racine.

Comme limite on obtient :

f(x) – f(xo) / (x – xo) = -.0599/0.01 = 5.99

Le même résultat est obtenu si x = 3,01

À mesure que x s’approche de xo à l’infini, on se rapproche de plus en plus de f'(xo) = 5,999999999 = 6.

Généralement formulé

f(x) a une limite en xo, g, (également appelée limites) si f(x) est arbitrairement proche de g, pour

x > xo et x < xo, mais x n’est pas égal à xo.

On écrit

Lim f(x) = g

x -> xo

(Lim, prononcé Limes)

ou simplement : f(x) -> g pour x -> xo

Cette limite, g, n’est autre que la pente tangente au point xo. S’ il vous plaît se référer

Bases du calcul différentiel

et c’est la 1ère dérivée de f(x) et est définie comme suit :

f ‘(xo) = lim [f(x) – f(xo)] / (x – xo)

x → xo

Symboles courants pour la dérivée 1 : f ‘(x), df/dx, z’, v’

Et pour les dérivées supérieures, par exemple la dérivée 2ème : f ”(x), df²/dx², z”, v”

Différenciable et continu

Seules les choses les plus importantes peuvent être expliquées ici.

Une fonction f(x) est différentiable en tout point x(o) si la limite f(x) –f(xo) / (x – xo) existe.

Une fonction n’est pas différentiable

• Là où il y a une lacune dans la définition, par ex. B. 1/x au point xo = 0
• Où le graphique est vertical. Parce que xo là = xo et cela entraînerait une division par zéro, ce qui est « interdit ». Avec la fonction racine f(x) = 2 √x, c’est le cas avec xo = 0 
• Où le graphique a un coin, par exemple f(x) = |x| + 2, (x en lignes absolues).
• Ce qui n’est pas continu.

Figure ci-dessus: F(0) Le graphique est perpendiculaire à zéro donc division non différentiable avec zéro, si x= 0 = “interdit”

 

Figure ci-dessus: f(0) = 2, Non différenciable dans un coin

 

Figure ci-dessus: f(0) n’est pas stable et donc non différentiable

 

Revenons maintenant à la limite et à la fonction f(x) = x²

Et nous en sommes déjà aux règles de dérivation : si nous substituons f(x) = x² et f(xo) = xo² dans la formule ci-dessus pour la limite, nous obtenons

x² – xo² / (x – xo)

le théorème du binôme est : a² -b² = (a-b)(a+b) et la limite de f(x) = x² est donc

f'(xo) = (x – xo)(x + xo) / (x – xo)

Lim x → xo

on réduit de (x – xo) et on obtient f’ (x) = lim (x + xo)

Si x se rapproche de plus en plus de xo, vous pouvez essentiellement obtenir x + xo = xo + xo = 2xo

cela correspond à la règle générale de dérivation nx exp (n-1) = f ‘ (x)

Un autre exemple:

f(x) = x³

Nous écrivons la formule ci-dessus pour la limite et substituons f (x) – f(xo) = x³ – xo³

f ‘(x) = (x³ – xo³) / (x – xo)

x³ –xo³ peut être décomposé selon les facteurs suivants :

(x – xo)(x² + x*xo + xo²)

On réduit f(x) par (x – xo) et on obtient x² + x*xo + xo²

et peut dire à plusieurs reprises que si x se rapproche de plus en plus de xo, vous vous rapprochez de plus en plus du résultat xo² + xo² +xo² = 3xo².

Cela correspond également à la formule de dérivation  (exp = haut p.e. x haut 2 = x exp 2 = x²)

n*x haut (n-1) ou n*x exp (n-1)

Toutes les fonctions ne peuvent pas être dérivées algébriquement, car la division par zéro gêne toujours. Les méthodes numériques aident généralement à la dérivation, telles que :

f(x) = e exp x et lnx  (e = figure Euler)

F (x) = e exp x

Nous écrivons la formule limite

F’ (x) = (e exp x – e exp xo)/( x – xo)

 

Applications et exemples des règles de dérivation

Les règles de la somme et de la différence s’appliquent également en tant que règles de dérivation spéciales.

Les sommes et celles qui sont négatives sont calculées selon les règles générales de dérivation. Se il vous plaît se référer

Bases du calcul différentiel

f(x) = 3x² + 4x – 1

f ‘(x) = 6x + 4 – 0 = 6x + 4

 

La règle du produit

f(x) = e exp x * cosx

f ‘(x) = e exp x * cosx  + e exp x * (-sinx)

f ‘(x) = e exp x *(cosx – sinx)

Explication : Dérivation de e exp x = e exp x  (voire ci-dessus et aussi la table de dérivations spéciales)

Dérivation de cosx = -sinx

 

La règle du quotient

f(x) / g(x)

Si seul le dénominateur (sous la ligne de fraction) a une variable, il existe ici une autre formule générale :

Si f (x) = 1 et g (x) = g(x) cela signifie : f (x) = 1/g(x) la dérivation selon la formulation de la règle du quotient (voir liste ci-dessus) donne :

f ‘(x) = [0*g(x) – 1* g ‘(x)] / (g(x))² = – g ‘(x)/(g(x))²

Voici un exemple simple : f(x) = 1/x ou = x¯¹,  f ‘(x) = -1/x² selon la règle de la somme

f(x) = 1/x,  g(x) = x et ainsi g ‘(x) = 1 und g (x)² = x²

-g ‘(x)/(g(x))² = -1 / x² selon la règle générale du quotient avec des variables au dénominateur.

 

Un autre exemple:

f(u) = (u³ – 1)/(u² + 1)

Le numérateur, u³ – 1, est dérivé avec la règle de la différence et s’élève à 3u². Dérivation du dénominateur = 2u

f ‘(u) = 3u²(u² + 1) – (u³ – 1)2u / (u² + 1)² = (u exp 4 + 3u² + 2u) / (u² + 1)² 

 

Règle de la chaîne

Avec la règle de chaîne, vous divisez la fonction f(x) en une

• fonction externe et une
• fonction interne

les fonctions externes et internes sont dérivées.

La règle est alors simplement :

Dérivation externe multipliée par dérivation interne

le reste est de la pratique.

2 exemples simples, qui peuvent également être dérivés en utilisant la règle de la somme et de la différence :

f(x) = (x + 2)²

Dérivation avec règle de somme : (dérivez chaque somme individuellement)

f(x) = (x + 2)² = x² + 4x + 4

f ‘(x) = 2x + 4 = 2(x + 2)

Dérivation avec règle de chaîne :

Fonction externe: f(u) = u² , u = (x + 2)

Dérivation externe: f ‘(u) = 2u

Fonction interne: I(x) = x + 2

Dérivation interne: I ‘(x) = 1

Dérivée externe multipliée par dérivée interne: f ‘ (u) * I ‘(x) = 2u*1 = 2u, = 2(x + 2)

Un autre exemple:

f(x) = (x² – 2)² = x hoch 4 – 4x + 4

Dérivation avec règle somme/différence :

f ‘(x) = 4x³ – 8x = 4(x³ – 2x)

Dérivation avec règle de la chaîne:

Fonction externe: f(u) = u², u = (x² – 2)²

Dérivation externe: f ‘(u) = 2u

Fonction interne: I(x) =  x² – 2

Dérivation interne: I ‘(x) = 2x

Dérivée externe multipliée par dérivée interne: f ‘(u) * i ‘(x) = 2u*2x = 2(x² – 2)*2x = 4(x³ – 2x)

Vous trouverez d’autres exemples dans les exercices.

 

 

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