Bases de la théorie des probabilités et combinatoire

Voire figure ci-dessus: V(E) = Probabilité (V = Vraisamblence, E = État, Événement) Na = Nombre de cas applicable, P = Nombre de cas possible ou de possibilités

Et voici quelques examples pratiques ci-dessous:

Roulette

Vous misez un jeton sur un nombre compris entre 1 et 36 ou sur zéro.

Nombre de cas possibles (P) = 37 avec le Zéro. Nombre de cas applicables (Na) = 1

V(E) = 1/37

Vous placez maintenant un jeton sur Impair. Cela signifie que si un nombre impair entre 1 et 36 apparaît, vous avez gagné un jeton supplémentaire. Si le Zéro arrive, vous avez perdu de toute façon. Maintenant, quelle est la probabilité V(E) que vous fassiez un profit ?

Le nombre de cas possibles (P)  est de 37, le nombre de cas applicables (Na) = 18, à savoir tous les nombres impairs entre 0 et 36, zéro n’est ni pair ni impair.

V(E) = 18/37

Calculez maintenant la probabilité d’obtenir la première douzaine en pariant un jeton sur les numéros 1-12.

Numéros de loterie

Tâche : Combien de billets de loterie devez-vous remplir pour obtenir les 5 bons ?

Nous dérivons d’abord une formule, avec l’exemple suivant :

A partir de 4 nombres différents 1,2,3,4, soit n = 4, on forme des combinaisons de 2 nombres chacune, k = 2. Il est important que l’ordre de ces 2 nombres soit primordial, ce qui veut dire que les 2 nombres peuvent être dans n’importe quel ordre peut avoir. Les deux nombres choisis 1,3 et 3,1 comptent comme 2 combinaisons différentes possibles

Question : Combien de paires de nombres (nombre de groupes, g = 2) obtenez-vous à partir des nombres 1,2,3 et 4 (c = 4 anlogue aux 4 cube ci-dessus, c! = 24) . Attention : Les paires de nombres (ici g = 2) doivent toujours être différentes, les répétitions ne sont pas autorisées !

P pour 1,2 / 1,3 / 1,4 / 2,1 / 2,3 / 2,4 / 3,1 / 3,2 / 3,4 / 4,1 / 4,2 / 4,3 = 12 paires de nombres, P = 12

P est 2 fois plus petit que 4 !.

Pour g = 3, P = 24, il y a 24 combinaisons possibles, P = 4! = 24

Pour g = 1, P = 4, soit 6 fois plus petit que 4 ! : 24/4 = 6

On fait le même jeu avec 5 numéros 5 différents P = 1*2*3*4*5 = 120   = 5! = 120

Pour g = 2 on obtient 20, P, c’est 6 fois plus petit que 5 !/6 = 120/6 = 20

Pour g = 3 on obtient 60, P = 5!/2 = 5!/(5 – 3)! =  120/2 = 60

Pour g = 4, P = 120 = 120/(5 – 4)! = 120/1 =120

Pour g = 5, P = 1, 2, 3, 4, 5 =  5! = 120  P = 120/(5 – 5)! = 120/0! = 120 (parce que 0! = 1)

La formule de ces exemples est P = c!/(c – g)!

Dans le cas des numéros de loterie, les combinaisons de a,b et b,a sont considérées comme identiques !

1.2 = 2.1

A partir de 4 nombres différents 1,2,3,4, c’est-à-dire n = 4, des combinaisons de nombres de 2 nombres chacune, k = 2, sont formées comme ci-dessus. Il est important de noter que l’ordre de ces 2 nombres est indifférent, ce qui signifie que les 2 nombres peuvent être dans n’importe quel ordre. Cependant, les deux numéros choisis 1.3 et 3.1 sont considérés comme une combinaison possible et sont équivalents tels que nous les connaissons à la loterie.

Question : Combien de paires de nombres M obtenez-vous à partir des nombres 1,2,3 et 4. Attention : Les paires de nombres doivent toujours être différentes, les répétitions ne sont pas autorisées !

paires de nombres :

1.2 / 1.3 / 1.4 / 2.3 / 2.4 / 3.4 donc il y a 6 paires de nombres, M = 6

On sait aussi que 4 ! = 1*2*3*4 = 24

La formule pour les numéros de loterie est P = c!/{g!(c – g)!}

Source : Formule et tableaux, mathématiques physique, 3e édition Orell Füssli page 27

Application Loto Euro

Nous avons les nombres 1 à 50 et les étoiles 1 à 11. Cela signifie que nous avons 50 + 11 = 61 possibilités ou nombres différents. Vous pouvez cocher au maximum 5 numéros et 2 étoiles, mais pas 7 numéros ou étoiles différents.

Pour simplifier pour l’instant : Calcul pour 5 bons nombres.

Combien de bouts de papier dois-je remplir pour avoir (au moins) 5 bons chiffres ?

c =50

g = 5

La formule P = c!/{g!(c – g)!} = 50!/{5!(45)!} = 2118760 possibilités ou champs

Le billet Euro Lotto se compose de 6 champs, 2118760/6 = 353127 billets de loterie, le dernier billet de loterie (353127en) ne doit être rempli qu’avec 4 champs.

Coûts pour cette loterie 2118760 * Euro 2 = 4’237’520 Euro

Combien de tickets devez-vous remplir pour avoir la garantie d’avoir 5 bons numéros et 2 bonnes étoiles, soit le rang 1 ?

On calcule d’abord l’exemple suivant. Trois de chacun sont sélectionnés parmi cinq nombres différents, 1,2,3,4,5, c = 5, g = 3. En même temps, 2 lettres chacune sont sélectionnées parmi les lettres a,b,c,d, c = 4,

g = 2.

Combien de combinaisons de 3 chiffres et 2 lettres obtient-on ?

Attention : pour rappel, la commande est immatérielle et les répétitions ne sont pas autorisées !

Il existe 10 combinaisons de nombres : 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345

Il existe 6 combinaisons de lettres (voir ci-dessus) ab, ac, ad, bc, bd, cd

En plus de chacune des 10 combinaisons de trois, il y a 6 combinaisons de deux lettres.

On obtient ainsi 60 combinaisons ou possibilités M = 60.

Cela signifie que vous pouvez utiliser la formule P = c!/{g!(c – g)!} pour l’exemple numérique et l’exemple de lettre et multiplier les deux résultats ensemble :

P = c(z)!/{g(z)!(c(z) – g(z))!}*c(b)!/{g(b)!(c(b) – g(b) ) !} Appliqué à l’Euroloto, le calcul est :

50!/{5!(45)!}* 11!/{2!(11-2)!} = 2118760* 55 = 116531800 champs ou 19’421’967 billets de loterie, Euro Millions. Seuls 4 champs sont à remplir pour la dernière feuille de papier.

Coût 116531800* 2 euros = 233’063’600 euros

Fractions de factorielles. Bref, comment calcule-t-on 12!/5! = 47 – (5 + 1) = 6 multiplie maintenant 6 par 12 6*7*8*9*10*11*12 = 3991680

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