Introduction au calcul intégral

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Bases du calcul intégral

 

définition

Pour les fonctions linéaires telles que f(x) = ax + b ou f(x) = x/c + dx etc., l’aire de l’intégrale à déterminer sous la courbe peut être calculée géométriquement.

Pour les fonctions qui ont des courbures, les intervalles partiels, Δx, doivent être choisis pour être infiniment petits et les zones infiniment étroites sous la courbe doivent être additionnées.

Pour la fonction f(x) = x, Δx = 1 voir ci-dessous. La fonction est linéaire. l’intégrale ∫ (5,1) c’est-à-dire de f(x) = x de x = 1 à x = 5

selon le calcul intégral ∫f(x) = x = x²/2. [5²/2 – 1²/2] =12

Géométriquement, si vous additionnez les carrés bleus et rouges et que vous divisez la somme par 2 :

(total supérieur + total inférieur)/2, 14 + 10 = 24, 24/2 = 12

Uppersum = total supérieur

Lowersum = total inférieur

 

Autre exemple de fonction linéaire :

f(x) = x/2

nous déterminons à nouveau l’intégrale selon les bases du calcul intégral. (voir ci-dessus)

∫(x/2) dx = x²/4

Les limites d’intégration sont comprises entre 10 et 50. Quelle est la taille de la zone ?

∫50.10(x/2)dx =[50²/4 – 10²/4] = 625 – 25 = 600

L’intégrale ∫(50,10)f(x)dx =∫50,10 (x/2)dx, c’est-à-dire que l’aire entre x = 10 et x = 50 est 600.

Le même résultat peut être déterminé graphiquement. La meilleure façon de procéder est d’utiliser du papier millimétré s’il n’y en a pas d’autre.

Des aides (y compris des programmes informatiques spéciaux) sont disponibles. Soit Δx égal à 10 ici :

Le résultat est (∑aires de la somme supérieure + ∑aires de la somme inférieure)/2

Voir l’image ci-dessous :

Uppersum = total supérieur

Lowersum = total inférieur

 

Fonctions non linéaires

Avant de finalement dériver une définition, nous souhaitons déterminer une intégrale d’une fonction non linéaire par calcul et graphiquement.

f(x) = x²

Nous calculons l’aire sous le graphique de f(x) de x = 1 à x = 4.

Nous intégrons d’abord ∫f(x)dx = ∫x²dx selon les bases du calcul intégral. (voir ci-dessus) :

∫x²dx = x³/3

Calculer l’aire de x = 1 à x = 4

∫4,1(x²)dx = [4³/3 – 1³/3] = 64/3 -1/3 = 21

Le calcul de l’aire sous le graphique peut à nouveau être effectué en utilisant les sommes supérieure et inférieure, mais le Δx doit maintenant être le plus possible être choisi petit.

C’est le seul moyen de se rapprocher de plus en plus du résultat = 21.

Afin de calculer le plus précisément possible l’aire entre x = 1 et x = 4 de f(x) = x², Δx doit être choisi aussi petit que possible.

Les sous-intervalles de Δx doivent être aussi proches que possible de 0. Il suffit donc de travailler uniquement avec le total supérieur ou avec le total inférieur.

De là, on peut formuler ce qui suit :

Limes Δxi –> 0 (i = 1) ∑f(xi)*Δxi  = ∫b,a f(x)dx

Dans notre exemple f(x) = x², b = 4 et a = 1 et l’aire est de 21 lors de la sélection du plus petit Δx possible entre x = 1 et x = 4.

∫4,1 (x²)dx = 21

La somme des aires de sous-intervalles Δx arbitrairement petits, qui tendent vers 0 mais deviennent de plus en plus nombreux, est appelée somme de Riemann.

Intégrales définies et indéfinies

 

Intégrale définie

À mesure que les sous-intervalles Δx deviennent de plus en plus petits – il n’est pas nécessaire qu’ils aient la même longueur – le nombre de sous-zones n devient de plus en plus nombreux. (n s’approche de ∞)

La somme de Riemann mentionnée ci-dessus tend à atteindre une limite. Cette limite est appelée intégrale définie de f, de limites a et b.

Dans l’exemple ci-dessus f(x) = x² les limites sont 1 et 4.

La formulation est la suivante :

∫b,a f(x)dx = Limes Δxi –> 0 (i = 1) ∑f(xi)*Δxi 

 

Intégrale indéfinie

Dans notre exemple, la primitive est f(x) = x².

Si on intègre cette primitive on obtient ∫x²dx = x³/3. Si nous dérivons à nouveau cette fonction intégrée, nous obtenons x².

Si nous avons

x³/3 + 2, 

x³/3 + 4, 

x³/3 + 1599

ou x³/3 + A

et en dérivant de dx, nous obtenons également x².

Cela signifie que les primitives ne sont pas explicitement déterminées. Pourquoi ajoutez-vous un C à la primitive intégrée :

∫f(x)dx = F(x) + C

dans notre exemple

∫x²dx = x³/3 + C

Calculer l’aire d’un rectangle :

0.1*.025 = 0.0025

Additionnez maintenant les petites maisons ou rectangles sous la courbe :

Le nombre de rectangles complets est de 185.

Si l’on prend également en compte les rectangles incomplets directement sous la courbe, on obtient 200 rectangles.

On multiplie 200 * 0,0025 et on obtient 0,5 =1/2.

Remarque:

Plus les intervalles sont petits, plus le résultat sera précis car les rectangles complets seront plus petits mais plus nombreux.

Dans les sciences naturelles, il n’est pas rare que des résultats de mesure soient évalués graphiquement pour lesquels il n’existe pas de fonction mathématique ou, le cas échéant, cette fonction ne peut pas être intégrée.

Venons-en maintenant aux règles d’intégration et revenons à ce type d’intégrale.

u(x) = (b – x), -1 = du

(-1)*∫u exp -5/2*du = 2/3(u) exp -3/2

(voir les bases du calcul intégral)

Solution : u est remplacé par (b-x)

∫f(x) = 2/3(b – x) exp -3/2 + C

Contrôle par dérivation avec règle de chaîne :

f ‘(x) = (-3/2)(2/3)(b-x) exp (-3/2 – 1)

u(x) = b – x) u ‘(x) = -1

f ‘(x) =(-1)*(-3/2)*2/3(b – x) hoch -5/2* = (b – x) exp -5/2

 

∫y/√(1 – y²)dy

u = 1 – y²

u’ = -2y

du = -2ydy

Vous pouvez maintenant écrire :

ydy = -1/2du

L’intégrale substituée s’écrit désormais :

-1/2*∫1/√u*du = -√u + C

u est à nouveau remplacé par

1 – y² : ∫y/√(1 – y²)dy = -√(1 – y²) + C

Ici, vous pouvez également utiliser directement la partie gauche de la formule de substitution mentionnée ci-dessus :

∫f(u(y))*u'(y)dy = ∫y/[√(1 – y²)*-2y]dy = -1/2∫1/√(1- y²) = -√(1 – y²) + C

Attention : u’y = -2y est ajouté ou multiplié sous la ligne de fraction.

le y au-dessus de la ligne de fraction est abrégé.

Contrôle par dérivation avec règle de chaîne :

-√(1 – y²) + C,

Fonction externe = -√u, Dérivée externe = -1/2√u = -1/2√(1 – y²)

Fonction interne = 1 – y², Dérivée interne = -2y

Dérivée externe * dérivée interne = -1/2√(1 – y²)*(-2y) = y/√(1 – y²)

2 est abrégé.

Exercice : vérifiez par vous-même dans les exemples suivants si les intégrales sont correctes en utilisant la dérivation à l’aide de la règle de chaîne.

∫(5w + 7)²ººdw

u = 5w + 7, u'(w) = 5 et vous pouvez écrire tout de suite

dw = 1/5du

∫1/5*u²ºº*du = u²º¹/(201*5) + C = u²º¹/1005 + C = (5w + 7)²º¹/1005 + C

∫e exp (2v + 3)*dv

u = u(v) = 2v + 3, u'(v) = 2 et ainsi 2dv = du ou dv = 1/2*du

∫e exp u *1/2*du = 1/2*e exp u + C = 1/2*e exp (2v + 3) + C

 

Pour les intégrales avec des limites d’intégration données ou en d’autres termes,

pour les intégrales définies, la formule générale de la règle de substitution est la suivante :

Un autre exemple:

∫(3)(-1)√(2x + 3)dx

Les limites d’intégration sont b = 3, a = -1

Il existe maintenant 2 méthodes pour calculer cette intégrale définie :

1. directement avec les limites d’intégration b et a (figure ci-dessus à gauche)
2. avec les limites d’intégration précalculées u(b) et u(a)

1ère méthode:

∫√(2x + 3)dx, u(x) = 2x + 3, dx = 1/2du

Comme montré ci-dessus:

1/2∫(3)(-1)√(2x + 3)dx = 1/2∫(3)(-1)√udu

1/2∫√udu = 1/2*2/3√u³ = 1/3√u³ et l’intégrale de cette fonction est donc :

1/3√(2x + 3)³

Maintenant, nous remplaçons les limites d’intégration au lieu de x et obtenons :

pour x = 3, 1/3√(2*3 + 3)³ = 27/3

pour x = -1, 1/3√(2*(-1) + 3)³ = 1/3

La valeur de l’intégrale est donc : (27 – 1)/3 = 26/3

2ème méthode :

∫[u(b)][u(a)]f(u)du d’après l’image ci-dessus à droite

Revenons maintenant à notre exemple avec le substituant u

1/2∫[u(3)][u(-1)]√udu

Nous calculons d’abord les limites d’intégration u(3) et u(-1)

u(x) = 2x + 3

u(3) = 9, u(-1) = 1

En utilisant la méthode 1, nous avons obtenu l’intégrale suivante pour cette fonction :

1/3√u³ en insérant u(3) = 9 on obtient 1/3√9³ = 27/3 et analogue pour u(-1) =1 = 1/3√1³ = 1/3

27/3 – 1/3 = 26/3

(Remarque, il est parfois plus facile d’écrire a exp ½ au lieu de √a, cela peut aider à l’intégration)

Intégration partielle

 

L’intégration partielle est utilisée pour les fonctions dont la variable : x, y, z ou w etc. apparaît deux fois dans les produits ou les quotients ou si d’autres méthodes d’intégration ne conduisent pas au succès. Exemples:

f(x)dx = ∫xe×dx

f(x)dx = ∫xsinxdx

f(x)dx = ∫x/(a + x)dx

mais aussi

f(x)dx = ∫lnxdx

f(x)dx = ∫sin²dx

L’intégration partielle nécessite souvent certaines astuces.

a/2∫1/[(1 + √(1 + ax)]dx

Cette intégrale peut être résolue à la fois par substitution et par intégration partielle, c’est-à-dire avec 2 méthodes d’intégration.

L’intégration partielle repose sur une règle de dérivation : la règle de somme :

(f(x)*g(x)) ‘  =  f ‘ (x)*g(x) + f(x)*g ‘ (x)

Mais l’intégrale de f(x)*g(x) ‘ est

∫f(x)*g(x)’ = f(x)*g(x) 

et donc

f(x)*g(x)  = ∫f ‘ (x)*g(x)dx + ∫f(x)*g ‘ (x)dx

Pour simplifier l’intégration en intégrant uniquement f(x) et en dérivant g(x), la formule est reformulée comme suit:

∫f ‘ (x)*g(x)dx = f(x)*g(x) – ∫f(x)*g ‘ (x)dx

Au lieu de f et g, u et v sont souvent utilisés.

∫u ‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v ‘ (x)dx

Application d’exemples pratiques :

La difficulté réside dans l’attribution des formules partielles appropriées à la fonction pour u et v.

Il est également fortement recommandé de dériver le résultat d’une intégration partielle afin de vérifier si la solution est correcte.

Exemple plus simple :

f(x) = 2x*e×dx     (e× = e exp x, voir Euler)

Choix de u‘(x) et v(x)

u‘ (x) = e×, cela signifie : u‘(x) = e× est à intégrer ! Ce qui n’est pas une sorcellerie, ∫e×dx = e×

u(x)  = e× (en fait, vous devriez écrire e× + C, pour simplification, C = 0 est défini)

v(x) = 2x, cela signifie v(x) = e× doit être dérivé!

v‘ (x) = 2

Maintenant on met ces résultats intermédiaires dans la partie droite de la formule ∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx :

e×*2x  – ∫e×*2dx

∫2*e×dx est maintenant intégré = 2*e×dx et nous obtenons pour

∫f(x) = ∫2x*e×dx = e×*2x – 2e× + C = 2e×(x – 1) + C

Contrôle : Dérivation avec la règle de somme

(fg)’ = f’ g + fg’

f = 2e×, g = (x – 1)

2e×(x – 1) + 2e× = 2x*e× – 2e× + 2e× = 2x*e×

veuillez recalculer!

L’exemple suivant nécessite une astuce :

∫2lnxdx = 2*lnxdx

Choix de u‘(x) und v(x)

u’ (x) = 2 et comme suite

u(x) = 2x

v(x) = lnx

v’ (x) = 1/x

Maintenant selon la formule générale : ∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx

2xlnx – ∫2x*1/xdx = 2xlnx – 2x + C = 2x(lnx -1) + C

Le contrôle par dérivation utilisant la règle de la somme est simple :

f = 2x, g = lnx – 1

2(lnx – 1) + 2x*1/x – 0 = 2*lnx – 2 + 2 = 2lnx

L’exemple suivant n’est pas non plus sans astuce :

∫cos²xdx = 1/2[(x + sin(x)*cos(x)] + C

Choix de u'(x) et v(x)

u’ (x) = cos(x)

u(x) = sin(x)

v(x) = cos(x)

v’ (x) = -sin(x)

Jusqu’à présent, tout s’est déroulé de la manière habituelle.

Cependant, si vous souhaitez maintenant appliquer la formule ∫u’ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v’ (x)dx,  vous vous retrouvez dans une boucle infinie :

sin(x)*cos(x) + ∫sin²(x)dx

Si ∫sin²(x)dx est maintenant intégré, l’expression suivante est obtenue :

-sin(x)*cos(x) + ∫cos²(x)dx

Mais jusqu’à présent, vous êtes le même qu’au début :

Maintenant, grâce à la trigonométrie, vous savez que cos²(x) + sin²(x) = 1.

Et donc : sin²(x) = 1 – cos²(x)

Maintenant, nous remplaçons la fonction à intégrer ∫cos²xdx par E : Et nous écrivons maintenant ce que nous avons réalisé jusqu’à présent :

E = ∫cos²(x)dx = sin(x)*cos(x) + ∫sin²(x)dx oder = sin(x)*cos(x) + ∫1 – cos²(x)dx

nous écrivons la relation suivante :

∫[1 – cos²(x)]dx = x – E

Maintenant, nous résolvons l’équation suivante pour E:

E = sin(x)*cos(x) + x – E

2E = sin(x)*cos(x) + x

E = ∫cos²xdx = 1/2[(x + sin(x)*cos(x)] + C

Contrôle par dérivation (règle de somme) :

1/2[( 1 – sin²(x) + cos²(x)] = 1/2[cos²(x) + cos²(x)] = 1/2[2cos²(x)] = cos²(x)

NB: 1 – sin²(x) = cos²(x)

 

Un exemple plus compliqué :

∫f(x) = ∫adx/2[(1 + √(1 + ax)] = a/2∫dx/[(1 + √(1 + ax)]

 

Afin d’intégrer cette fonction, les deux méthodes discutées jusqu’à présent sont nécessaires : substitution et intégration partielle.

Nous substituons d’abord 1 + √(1 + ax) et dérivons ce dénominateur à l’aide de la règle de chaîne :

u(x) = 1 + √(1 + ax)

u’ (x) = a/2√(1 + ax)

Nous procédons maintenant exactement de la même manière que le deuxième exemple du sous-chapitre Substitution :

ou comme avec l’intégrale :

et appliquer la formule de substitution :

L’intégrale ressemble maintenant à ceci :

Attention : u’ (x) = a/2√(1 + ax) doit être placé sous la ligne de fraction et multiplié !

∫f(x) = a/2∫dx/[(1 + √(1 + ax)]*a/2√(1 + ax) = a/2∫2/a*√(1 + ax)/[(1 + √(1 + ax)]dx 

par division fractionnaire et simplifié après réduction de a/2

∫f(x) = ∫√(1 + ax)/[(1 + √(1 + ax)]dx

Maintenant, nous simplifions davantage et remplaçons (1 + √(1 + ax) par w et on résulte

∫f(w) = ∫(w – 1)/wdw

Cette intégrale est maintenant résolue par intégration partielle :

u’ (w) = w – 1

u(w) = w²/2 – w

v(w) = 1/w

v’ (w) = -1/w²

Et on procède de la même manière que d’habitude : avec la formule déjà connue d’intégration partielle :

∫u‘ (x)*v(x)dx = u(x)*v(x) – ∫u(x)*v‘ (x)dx

∫f(w) = ∫(w – 1)/wdw

∫f(w) = 1/w(w²/2 – w) + ∫(1/w²(w²/2 – w)dw = 1/w(w²/2 – w) + ∫(1/2 – 1/w)dw

= w/2 – 1 + w/2 – lnw = w – 1 – lnw

nous réinitialisons w = (1 + √(1 + ax) et obtenons

∫f(x) = ∫adx/2[(1 + √(1 + ax)] = √(1 + ax) – ln(1 + √(1 + ax) + C

et voici ci dessous:

Contrôle : pratique

Ces deux sommes peuvent être dérivées et additionnées à l’aide de la règle de chaîne.

Vérifiez-le par vous-même avec la pratique sur la page de pratique !

Intégration utilisant la décomposition de fractions partielles

 

La décomposition en fractions partielles a été brièvement évoquée ci-dessus. Si les fonctions à intégrer sont des fractions dont le dénominateur est un produit.

Il est donc souvent utile pour l’intégration de décomposer ces fractions en sommes.

Exemple:

f(x) = ∫1/(a – x)*(b – x)dx

Nous créons d’abord la décomposition en fraction partielle

Les 2 sommes peuvent maintenant être intégrées en utilisant la méthode de substitution, qui vient d’être évoquée ci-dessus.

Le résultat de la fonction intégrée ressemble à ceci :

Pour vérifier, vous pouvez le remodeler comme suit:

1/(b – a)[ln(b – x) – ln(a – x)]

et avec la règle de chaîne, vous récupérez la fonction d’origine.

 

L’exemple suivant pourrait être un peu plus délicat.

f(x) = 1/(d – 2x)*(e – 3x)dx

car la variable ne disparaît pas lorsqu’elle est exclue.

Il faut maintenant repenser cette fonction pour que la fraction multiplicatrice soit libérée des variables.

Cette intégrale peut être calculée somme par somme en utilisant la méthode de substitution. Le résultat ressemble à ceci :

Attention! ln(3d – 6x) – ln(2e – 6x) = ln(3d – 6x)/(2e – 6x)] voir chapitre Euler logarithmen

 

Intégration numérique

 

La formule Simpson

Vous avez une fonction et vous souhaitez obtenir une intégrale spécifique de a à b (ou l’aire de x = a à x = b).

Or cette fonction ne peut pas être intégrée ou vous n’avez pas les connaissances nécessaires, etc.

Il existe une méthode simplifiée pour calculer l’intégrale définie sans intégrer la fonction.

La formule de Simpson calcule 3 valeurs de fonction (f(a), f(b) et f(a + b)/2) et l’intégrale peut être calculée comme suit.

Bien que la valeur diffère légèrement de l’intégration habituelle, les résultats concordent étonnamment bien.

Exemples:

L’intégrale définie de

∫(3)(-1)√(2x + 3)dx

qui a été calculée ci-dessus de deux manières en utilisant la méthode de substitution, est 26/3 = 8,666

Nous appliquons maintenant la formule de Simpson :

a = -1, f(a) = y0 = 1

b = 3, f(b) = y2 = 3

(a + b)/2 = f(1) = y1 = √5

(b – a)/6 = 4/6 = 2/3

Maintenant, nous insérons ces résultats directement dans la formule de Simpson :

2/3*(1 + 4*√5 + 3) = 8,6295

Comme je l’ai dit, ce n’est pas exact mais c’est proche.

 

Dans l’exemple suivant, nous revenons à la fonction e, qui a été intégrée au tout début à l’aide du calcul de surface.

 

Nous avons essayé de trouver cette intégrale manuellement en utilisant le calcul de surface. Voici à nouveau le tableau des valeurs :

Pour cette fonction, nous essayons maintenant d’intégrer de x = 0 à x = 2.2 en utilisant la formule de Simpson. Nous avons adopté cette fonction dans la formule de Simpson et ceci

créé une formule Excel. Ainsi

b = 2,2, 

a = 0

y0 = f(b) = f(2,2) = 2.2*ehoch(-2.2*2.2)

y1 = f(a – b)/2 = 2,2/2*ehoch(-2,2/2*2,2/2)

y2 = 0

La formule Excel est : pour b = B1 et a = A1 et C1 = Résultat de l’intégrale :

=(B1*EXP(-B1*B1))*(B1-A1)/6+4*(B1+A1)/2*EXP(-(B1+A1)/2*(B1+A1)/2)*(B1-A1)/6+(A1*EXP(-A1*A1))*(B1-A1)/6

Si vous mettez =2,2 dans le champ B1 vous obtenez

0,487469…. ∼ 0.5 = 1/2

En utilisant la formule de Simpson, les limites d’intégration peuvent également être déterminées arbitrairement dans le domaine de définition x = 0 bis x = 2,2

pour a= 1 et b = 2 on obtient 0,1728….

 

Utilisation de schémas et de tableaux d’intégration

 

Intégrales indéfinies spéciales (la constante C est omise dans chaque cas)

Vous trouverez ci-dessous une collection d’intégrales définies et indéfinies :

F(x) est la fonction intégrée de f(x). Dans les manuels scolaires, F(x) est également appelé primitive.

Intégrales indéfinies : fonctions rationnelles

 

Intégrales indéfinies : fonctions racine carrée

 

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