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Équations différentielles
Dans les chapitres précédents, les bases du calcul différentiel et intégral ont été couvertes. Il s’agit maintenant d’une autre application de la théorie des équations.
Jusqu’à présent, la tâche consistait à rechercher et à déterminer la valeur de x à partir d’une équation, par exemple ax + b = cx + d. L’équation est résolue pour x. Pour x, vous obtenez une valeur qui est :
a, b, c et d composés. La solution de cette équation est :
x = (d – b)/(a – c)
Vous pouvez vérifier ce résultat en l’insérant dans l’équation ci-dessus. ax + b = cx + d.
Vous obtenez les mêmes expressions des deux côtés gauche et droit de l’équation, à savoir (ad – cb)/(a – c)
Cette procédure est particulièrement importante si vous souhaitez résoudre des équations différentielles sans effort : de quoi s’agit-il exactement ? Qu’est-ce que tu cherches ici?
Dans l’équation différentielle, la solution n’est pas un nombre mais une fonction.
Le problème n’est pas seulement de trouver une solution, c’est-à-dire la fonction, mais aussi d’établir l’équation différentielle.
Ce dernier phénomène se produit principalement grâce à des expériences scientifiques. Dans ce cours, nous nous concentrerons principalement sur leur résolution.
Exemples d’équations différentielles
f ‘(x) = -a*f(x) par exemple, désintégration radioactive
f ‘(x) = b*f(x) par exemple croissance des populations
k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)] par exemple propagation d’une infection : k(t) = nombre de personnes infectées au moment t, [M – k(t)] = nombre de personnes en bonne santé au temps t, M = nombre d’individus (personnes)
m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), K > 0 par exemple une réaction chimique : E + D ==> P c’est-à-dire que E et D réagissent pour former P. À au moment t, la concentration des substances E et D est respectivement e – m(t) et d – m(t). Les concentrations des produits E et D diminuent chacune avec le temps. Au début, t = 0, P = 0. Nous n’avons pas encore de produits mais E et D correspondent aux concentrations initiales. K doit être supérieur à 0 car P augmente avec le temps.
K’ (t) = D(K – K(t)) par exemple la diffusion, la distribution uniforme d’une substance dans un espace dont le volume reste constant. La loi de Fick.
Ces équations différentielles sont discutées ici.
Exemples plus difficiles
Mf ”(x) = -K*f(x), K > 0 par exemple La force du ressort selon la loi de Hook
Mf”(x) = -K*f(x) – R*f'(x), K,R > 0. La force du ressort ci-dessus prend également en compte le frottement.
Les deux dernières équations sont traitées dans une leçon de mathématiques supérieures. Mathématiques pour les scientifiques en cours.
L’essentiel sur les équations différentielles
Là encore, une fonction f(x) est recherchée dans les équations différentielles. L’inconnue est donc une fonction à une ou plusieurs variables. C’est pourquoi une distinction est d’abord faite entre
a) Équation différentielle ordinaire, la fonction que vous recherchez n’a qu’une seule variable.
et
b) Équation aux dérivées partielles, la fonction que vous recherchez a plusieurs variables.
Ce cours ne couvre que les équations différentielles ordinaires.
Dans les exemples ci-dessus, les fonctions recherchées seraient f(x), k(t), m(t) et K(t).
Pour des raisons de simplicité et de clarté, les variables doivent être désignées par x et la fonction souhaitée, f(x), par y = y(x).
Les exemples ci-dessus pourraient ressembler à ceci:
- f ‘(x) = -a*f(x), y’ = -ay
- f ‘(x) = b*f(x), y’ = by
- k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)], y’ = cy(M – y)
- m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), y’ = A(e – y)(d – y)
- K’ (t) = D(K – K(t)), y’ = D(K – y)
- Mf ”(x) = -K*f(x), My” = -Ky
- Mf”(x) = -K*f(x) – R*f'(x), My” = -Ky-Ry’
Les équations différentielles de la dérivée première, y’, sont appelées 1er ordre, la dérivée seconde, y”, d’ordre 2.
Les équations différentielles résolues pour y’ sont dites explicites. Les deux équations suivantes:
y’ = f(x)
y’ = f(x,y)
sont explicites et du 1er ordre, où à y’ = F(x,y) la fonction (f) a deux variables.
Exemples::
y’ = x + y² + 3
y’ = y – sinx
mais
y’ + x = tany’ – y
n’est pas nicht explicite!
Dans les exemples 1) à 6 ci-dessus), le membre de droite est toujours constitué d’une fonction y seule. Mais le membre de droite ne peut aussi dépendre que de x :
y’ = x²
Solutions
Nous traitons principalement d’équations différentielles explicites du premier ordre.
y’ = f(x,y)
Il est recommandé de répéter à plusieurs reprises les connaissances déjà acquises sur le calcul différentiel et intégral.
exemples simples :
équations différentielles explicites:
- y’ = x
- y’ = 2x
- y’ = x²
- y’ = y
- y’ = 2xy
1 – 3 : le côté droit de l’équation contient uniquement x
En 4. le côté droit contient y et dans l’exemple 5 x et y.
Solutions:
- y = x²/2 + C
- y= x² + C
- y = x³/3 + C
- y = Ce× (e× = e hoch x)
- y = Ceײ (eײ = e hoch x²)
contrôle:
1) côté gauche, y = x²/2 + C, y’ = dy/dx = 2x/2 + 0 = x, donc côté gauche = côté droit = x
2) côté gauche, y = x² + C, y’ = dy/dx = 2x + 0 = 2x, = côté droit
3) côté gauche, y = x³/3 + C, y’ = dy/dx = 3x²/3 = x², = côté droit
4) côté gauche, y = Ce×, y’ = dy/dx = Ce×, = côté droit
5) Pour dériver Ceײ nous avons besoin de la règle de chaîne : fonction externe, vous pouvez écrire directement f(x) = Ce à la puissance u, f'(x) = Ce à la puissance de et fonction interne f(x ) = x², f'( x) = 2x. y’ = fonction interne * fonction externe
= 2x*Ceײ c’est le côté gauche et il est identique au côté droit 2xy car y = Ceײ.
Comme vous pouvez le constater, les solutions peuvent être devinées dans ces exemples.
Remarques:
Dans les exemples 1) à 3) des équations différentielles explicites, la solution de y ou f(x) est obtenue par intégration selon dx. Il en va de même pour les exemples 4) et 5), où ici la fonction Euler
e× entre en jeu.
Les solutions de ces équations différentielles contiennent une constante C et il est important de savoir que ce C ne dit rien d’autre que la solution est de nature générale. La constante C peut également apparaître comme un multiplicateur, notamment dans le cas de fonctions e trouvées, à Ceײ. Cette solution générale peut avoir une infinité de solutions. Pour obtenir une solution spécifique, nous devons définir les conditions initiales (Xo, Yo). Vous pouvez donner n’importe quel nombre pour Xo et Yo et déterminer f(Xo) = Yo. Il en résulte une solution spéciale.
Dans l’exemple 1), nous avons trouvé la solution générale suivante pour l’équation différentielle explicite, y’ = x
y = f(x) = x²/2 + C, Soit la condition initiale donnée Xo = 2 et Yo = 4, ce qui signifie ce qui suit :
f(Xo) = f(2) = 4/2 = 2, où Yo = 4, vous résolvez maintenant l’équation suivante pour C :
Yo = f(Xo) + C ou 4 = 2 + C ==> C = 2
La solution particulière est donc aux conditions initiales : Xo = 2 et Yo = 4
y = x²/2 + 2
Par exemple 4), y’ = y est la solution générale
y = f(x) = Ce×, soit la condition initiale Xo = 1 et Yo = 2, l’équation suivante est donc 2 = Ce, et résolue pour C : C = 2/e
La solution spéciale avec condition initiale Xo = 1 et Yo = 2
y = 2/e*e×
Il convient également de noter ici que les équations différentielles explicites d’ordre supérieur (ordre 2 et n) ont respectivement 2 et n constantes d’intégration.
Exemple : y” = x, y’ = 1/2x² + C, y = 1/6x³ + Cx + D
Équations différentielles linéaires explicites du 1er ordre
Une fonction linéaire du 1er ordre ressemble à ceci :
f(x) = ax + b
De manière analogue, une équation différentielle linéaire du premier ordre peut être représentée comme suit :
y’ = ay + b
où a et b sont des fonctions de x. Par exemple, si a = g(x) et b = h(x), l’équation différentielle ressemble à ceci :
y’ = g(x)y + h(x)
y est la fonction f(x) que vous recherchez.
Parmi les exemples 1) à 7) mentionnés ci-dessus, mentionnés à nouveau ici :
- f ‘(x) = -a*f(x), y’ = -ay
- f ‘(x) = b*f(x), y’ = by
- k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)], y’ = cy(M – y)
- m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), y’ = A(e – y)(d – y)
- K’ (t) = D(K – K(t)), y’ = D(K – y)
- Mf ”(x) = -K*f(x), My” = -Ky
- Mf”(x) = -K*f(x) – R*f'(x), My” = -Ky-Ry’
sont 1), 2) et 5) linéaires, 3) et 4) sont non linéaires.
Les exemples 6) et 7) sont des équations différentielles linéaires du 2ème ordre.
De plus, une équation différentielle linéaire est dite homogène lorsque h(x) = 0 et lorsque h(x) ≠ 0 elle est dite inhomogène.
Une approche de solution importante consistera d’abord à résoudre l’équation homogène y’ = g(x)y. Trouvez ensuite la solution en utilisant la méthode dite de « variation des constantes »
.
Le processus de résolution est donc:
-
Résolvez l’équation différentielle homogène.
-
Solution utilisant la « Variation des constantes ».
1) Équation homogène
y’ = g(x)y
La solution est : (Intégrale avec application de la règle de substitution)
y = Ke (exp) ∫g(x) ou y = Ke (exp) G(x)(K est une constante)
∫g(x) = G(x),
G(x) est l’intégrale de ∫g(x). On peut aussi dire que G(x) soit une fonction principale de g(x). mais G'(x) = g(x)!
Contrôle:
y = Ke (exp) G(x) dérivé de dx en utilisant la règle de chaîne :
Ke (exp) G(x)*G'(x) = g(x)*Ke (exp) G(x) = g(x)*y
2) “Variation des constantes”
Dans cette 2ème étape nous effectuons l’approche suivante avec le résultat de l’équation homogène, y = Ke (exp) G(x) :
On remplace K par K(x), c’est à dire une fonction encore inconnue.
y = K(x)e (exp) G(x)
Nous dérivons maintenant cette équation. (règle du produit et de la chaîne) et obtenez :
y’ = K'(x)e (exp) G(x) + K(x)g(x)e (exp) G(x) Attention : G'(x) = g(x)
Cette expression obtenue est maintenant utilisée
y’ = g(x)y + h(x)
assimilé.
K'(x)e (hoch) G(x) + K(x)g(x)e (exp) G(x) = g(x)y + h(x)
y = K(x)e (exp) G(x)
Les deux expressions sont maintenant insérées dans l’équation inhomogène y’ = y – 2x² et l’équation résultante est résolue pour K'(x) :
y’ = y – 2x² ===>K'(x)e× + K(x)e× = K(x)e× – 2x²
K(x)e× est éliminé et il reste:
K'(x)e× = -2x² et K'(x) = -2x²/e×, maintenant K'(x) est intégré :
K(x) = ∫K'(x)dx = -2∫x²/e×dx Intégrer partiellement deux fois
K(x) = 2x²/e× + 4x/e× + 4/e× + C et parce que y = K(x)e×
y= (2x²/e× + 4x/e× + 4/e× + C)e× = 2x² + 4x+ 4 + 2Ce×
Contrôle:
Nous dérivons d’abord y
y’ = dy/dx = 4x + 4 +2Ce×
Chez y – 2x², nous remplaçons y = 2x² + 4x+ 4 + 2Ce×
2x² + 4x+ 4 + 2Ce× – 2x² = 4x + 4 + 2Ce×
Ce qui restait à prouver.
2) y’ = x + 2 – y = -y +(x + 2)
Équation homogène :
y’ = -y
y = K/e× (ou y = Ke exp -x)
Variation des constantes
L’approche est la suivante :
y = K(x)/e× et y’ = K'(x)/ex – K(x)/e× (règle de produit)
y’ = –y + x + 2 = –K(x)/e× + x + 2
ainsi
K'(x)/ex – K(x)/e× = –K(x)/e× + x + 2|-K(x)/e× est éliminé et il reste:
K'(x)/ex = x + 2 oder K'(x) = e×(x + 2)
K'(x) est intégré
∫K'(x) = K(x) = ∫xe×dx + 2∫e×dx
(∫xe×dx Intégration partielle) K(x)= e×(x – 1) + 2e× + C = e×(x + 1) + C
y = K(x)/e× = [e×(x + 1) + C]/e× = x + 1 + C/e×
Contrôle
–y + x + 2= –(x + 1 + C/e×) + x + 2 = 1 – C/e×
y’ = dy/dx = (x + 1 + C/e×)/dx = 1 – C/e×
Ce qui restait à prouver.
Avis: Dérivée C/e× avec règle du quotient
3) y’ = my + n (m ≠ 0)
Soit m et n des nombres réels. Il s’agit d’une équation différentielle à coefficients constants. La solution générale de l’équation homogène correspondante
y’ = my
Nous savons déjà, comme dérivé ci-dessus, que nous pouvons écrire y = Ce exp mx (Attention ! my est positif !)
Supposons que l’équation différentielle y’ = my + n ait un endroit où la pente est = 0 ou 0 = my + n est résolue pour y :
==> y = -n/m
-n/m est une solution spéciale à l’équation inhomogène : Remplaçons -n/m dans l’équation y’ = my + n. Remplacez y par -n/m :
-m*n/m +n = 0 et y’ = (-n/m)’ = 0
y = Ce exp mx – n/m est donc la solution générale.
Contrôle
Insérons maintenant la solution générale que nous venons d’obtenir dans l’équation différentielle, y’ = my + n :
Côté gauche : y’ = C*m*e exp m*x (1. dérivation de y = C*e exp m*x – n/m de dx)
Côté droit : m*(C*e exp m*x – n/m) + n = C*m*e exp m*x -m*n/m +n = C*m*e exp m*x
L’exemple 5) ci-dessus peut également être calculé de manière analogue :
K’ (t) = D(K – K(t)), y’ = D(K – y)
0 = DK – Dy, y = K
Solution: y = C*e hoch -Dx + K
S’il vous plaît, faites le calcul vous-même !
Une autre approche de solution : Séparation des variables
Une autre méthode de solution est présentée ici : Les variables sont séparées ou séparées. Cette méthode est toujours utilisée lorsque l’équation différentielle a la forme suivante :
y’ = k(x)*l(y)
Le côté droit est constitué d’un produit de deux fonctions, chacune avec une variable x et y. Avant de calculer des exemples pratiques pour arriver à une solution, les 4 étapes suivantes sont suggérées :
-
L’équation différentielle est légèrement reformulée : y’ est remplacé par dy/dx.
-
Toutes les expressions avec y sont déplacées vers la gauche et toutes celles avec x sont déplacées vers la droite. Il faut donc multiplier par dx et l’équation différentielle ci-dessus a maintenant la forme suivante : dy/l(y) = k(x)dx.
-
L’intégrale indéfinie est formée des deux côtés : ∫dy/l(y) = ∫k(x)dx + C. Les deux intégrales se résument ainsi : L(y) = K(x) + C. L(y) est maintenant une fonction intégrée de 1/l(y) et K(x) est l’une de k(x). On peut désormais appeler « implicitement » y une fonction de x. C’est aussi la raison pour laquelle la constante d’intégration doit apparaître uniquement à droite mais ne doit pas être oubliée !
-
Maintenant, résolvez pour y
La cinquième étape consisterait à vérifier s’il existe également des solutions constantes. Nous y reviendrons plus loin, où la question est parfois de savoir si une équation différentielle peut avoir plusieurs solutions ou si elle est unique.
Exemples
Pour l’instant nous allons traiter d’un exemple simple, à savoir celui qui a déjà été résolu ci-dessus:
y’ = 2xy
On procède selon le schéma ci-dessus:
- Remodeler : dy/dx = 2xy
- Séparation: dy/y = 2x
- Intégrer les deux côtés: ∫1/y*dy = ∫2xdx. L’intégrale donne: lnIyI = x² + C Attention : faites attention aux tirets absolus !
- Solution selon y : Introduisez d’abord la fonction exponentielle d’Euler des deux côtés pour que ln disparaisse à gauche : IyI = e exp(x²+ C) e exp (x² + C) peut aussi s’exprimer avec e exp x² * e exp C et remplacer par e exp C =L, où L est également considéré comme une constante. La solution provisoire ressemble désormais à ceci : IyI = L*e exp x². Maintenant les lignes de valeurs absolues sont éliminées : y = ±L*e exp x² maintenant nous pouvons remplacer ±L par K : K = ±L et la solution générale est : y = K*e exp x² ou y = Ceײ. (voir ci-dessus : exemples simples, équations différentielles explicites, exemple 5 : y’ = 2xy)
K est considéré comme une constante arbitraire. Si K = 0 alors y = 0 et nous avons une fonction constante. Ceci est inclus dans la solution.
Exemple 5 : Equation différentielle linéaire à coefficients constants y’ = D(K – y) Cet exemple a déjà été résolu ci-dessus sous variation des constantes.
Nous pouvons noter les 3 premières étapes selon le schéma ci-dessus :
- dy/dx = D(K – y)
- dy/(K – y) = Ddx
- ∫dy/(K – y) = ∫Ddx + C, L’intégrale donne : -lnIK – yI = Dx + C et le signe moins décalé vers la droite lnIK – yI = -Dx – C et nous sommes maintenant à l’étape 4
- ln est éliminé à l’aide de la fonction exponentielle d’Euler: IK – yI = e exp (-Dx – C), Comme dans l’exemple ci-dessus : e exp -C = L et voilà L = ±L = ±e exp -C la solution générale: y = L*e exp -Dx + K.
Le réglage L =0 donne y = K. Il s’agit d’une solution constante de l’équation différentielle et est incluse dans la solution générale : y = Le à la puissance Dx + K.
Au lieu de L, vous pouvez également choisir à nouveau C, comme dans le même exemple ci-dessus.
Un autre exemple:
y’ = -2x/y
1) dy/dx, 2)ydy = -2xdx, 3) ∫ydy = ∫2xdx + C ===> y²/2 = -x² + C et résolution pour y²: y² = -2x² + 2C = 2(C – x²)
Man setze die Quadratwurzel und erhält 2 Lösungen: y1 = √[2(C – x²)] et y2 = -√[2(C – x²)]
Contrôle : nous dérivons d’abord y1 en utilisant la règle de la chaîne: y1′ = -2x/√[2(C – x²)] et y2′ = 2x/√[2(C – x²)]
Vérifiez en insérant dans -2x/y1 =-2x/√[2(C – x²)] = y1′ et -2x/y2 = -2x/-√[2(C – x²)] = y2′ après avoir omis les signes “minus”.
.Veuillez prêter attention aux points suivants :
L’équation y = -2x/y n’a de sens que pour y ≠ 0 : il n’y a pas de solutions constantes ici. y1 et y2 représentent ici 2 demi-cercles. y1 au dessus et y2 en dessous de l’axe des x.
Un autre exemple:
y’ = ax(y – 1)²
Les 2 premières étapes donnent dy/(y – 1) = axdx et l’étape 3 d’intégration des deux côtés – 1/(y – 1) = ax²/2 + C
L’étape 4, résolue pour y, donne: y = 1 – 2/(ax² + 2C)
Vérifier : la dérivée donne : y’ = 4ax/(ax² + 2C)² et le résultat de y est inséré dans l’équation y’ = ax(y – 1)²: ax*[1 – 2/(ax² + 2C) – 1]² = 4ax/(ax² + 2C)²
ce qui restait à prouver.
Avec y=1 l’équation différentielle a une solution constante, mais ce n’est pas un cas particulier de solution générale. La solution y = 1 est aussi appelée solution singulière car elle n’est pas un cas particulier de la solution générale. Pour ICI = ⇒ ± ∞ arbitrairement grand, y suit la fonction constante y = 1.
Un autre exemple
L’exemple suivant est une équation différentielle pour laquelle il n’existe pas de forme explicite :
y’ = 2x/(1 – siny)
Nous suivons à nouveau la solution de séparation habituelle avec le premier pas:
- dy/dx = 2x/(1 – siny), 2) (1 – siny)dy = 2sdx, 3) ∫(1 – siny)dy = ∫2xdx = y + cosy = x² + C
La solution n’existe que sous la forme implicite.
Un autre exemple, mais un peu plus difficile :
Nous avons affaire à une équation différentielle non linéaire du premier ordre :
Veuillez répéter brièvement la conférence sur le calcul intégral, Introduction au calcul intégral, et en particulier l’exemple avec la décomposition de fractions partielles. Allez au sous-chapitre « Intégration par décomposition en fractions partielles »
Voici à nouveau l’illustration
y’ = b(M – y)(N – y), M ≠ N
Des exemples 1) à 7), nous couvrons ici l’exemple 4). voire les 7 exemple sous chapitre L’essentiel sur les équations différentielles
4. m’ (t) = A(e – m(t))*(d – m(t)), y’ = A(e – y)(d – y)
Étant donné que seule la variable y apparaît sur le côté droit, vous pouvez également utiliser la méthode de séparation des variables ici.
1) dy/dx = b(M – y)(N – y), 2) dy/(M – y)(N – y) = bdx, 3)∫dy/(M – y)(N – y) = ∫bdx, le côté gauche est désormais décomposé en fractions partielles :
1/(M – y)(N – y) = 1/(N – M)[1/(y – N) – 1/(y – M)] et l’intégrale en 3) est donc :
∫1/(N – M)[1/(y – N) – 1/(y – M)]dy = ∫bdx et après remodelage pour simplification :
∫[1/(y – N) – 1/(y – M)]dy = ∫b(N – M)dx Le côté droit peut être déterminé directement : = b(N – M)x + C
et le côté gauche :
lnIy -NI – lnIy – MI oder lnI(y – N)I/I(y – M)I alors
lnI(y – N)I/I(y – M)I = b(N – M)x + C
Nous appliquons maintenant la règle d’Euler et éliminons les barres absolues : Exemple e exp lna = a
I(y – N)I/I(y – M)I = e exp [b(N – M)x + C] = e exp b(N – M)x*e exp C
(y – N)/(y – M) = ±e exp b(N – M)x*e exp C si on remplace ±e exp C par L, on peut écrire :
(y – N)/(y – M) = L*e hoch b(N – M)x
Pour résoudre cette équation pour y, nous remplaçons le côté droit par u. u = L*e hoch b(N – M)x
(y – N)/(y – M) = u,
y – N = (y – M)*u = yu – Mu
y(1 – u) = N -Mu
y = (N – Mu)/(1 -u)
Le côté droit est maintenant agrandi et remodelé comme suit :
(N – Mu)/(1 -u) = [(N – M) + (1 – u)M]/(1 – u)* quand vous multipliez le numérateur et l’additionnez [(N – M) + (1 – u)M]
Maintenant, vous pouvez également écrire :
(N – M)/(1 – u) + (1 – u)M/(1 – u) et recevez y = (M – N)/(1 – u) + M et avec u = L*e exp b(N – M)x
Cette équation différentielle a 2 solutions selon que L est positive ou négative.
y = M + (N – M)/[1 – L*e hoch b(N – M)x] si L est positive (+L)
Pour (-L) négatif la solution est y = M + (N – M)/[1 + L*e exp b(N – M)x]
* si vous multipliez le numérateur et l’additionnez [(N - M) + (1 – u)M] vous obtenez N – M + M – Mu = N – Mu
Puisque nous venons de résoudre l’exemple 4), nous pouvons maintenant pratiquement écrire l’exemple 3) :
3) k ‘(t) = c*k(t)*[M – k(t)], y’ = cy(M – y)
Nous traitons ici l’exemple : y’ = by(M – y) et le résolvons de la manière suivante :
y’ = b(M – y)(N – y), en fixant M = 0 et en reformulant l’équation comme suit : y’ = -b(0 – y)(N – y) car M = 0, on peut écrire directement la solution :
y = N/[1 + K*e exp (-bNx)] c > 0, N > 0 ou si y = F(t)
F(t) = N/[ 1 + K*e exp (-bNt)] Cette fonction est appelée fonction logistique, dont le graphique est en forme de S et peut reproduire assez précisément les processus de croissance.
