Einführung in die Differenzialrechnung

 

Allgemeines zu Funktionen

Die meist gebräuchlichste Bezeichnung für Funktion in der Mathematik ist f(x). Anstelle dessen kann für f irgend ein anderer Buchstaben stehen: q(x), s(x), p(x) etc. In der Physik werden oft auch griechische Buchstaben verwendet.

Analoges gilt für die Variable x. Oft schreibt man auch y, z, t oder verwendet griechische Buchstaben.

Das x in f(x) ist irgend eine reelle Zahl, aus dieser ein dazugehöriger Wert der Funktion zugeordnet ist.

Reelle Zahlen sind alle Zahlen auch solche mit unendlichen und aperiodischen Dezimalbrüchen, aber ohne alphabetische Zahlen (ohne Buchstaben). Dazu gehören die ganzen (1, 2, 3…) und die natürlichen Zahlen (…-2, -1, 0, 1, 2…) die rationalen Zahlen, mit abbrechenden und periodischen Dezimalbrüchen (z.B. ¼, = 0.25, 1/3 = 0.33333333…) und die irrationalen Zahlen mit aperiodischen und unendlichen Dezimalbrüchen (z.B. die Zahl Phi 3.14…..).  Die reine Definition der reellen Zahlen ist abstrakt und wird in der höheren Mathematik behandelt

 

Aus diesem x von f(x) wird der Wert der Funktion berechnet oder zugeordnet.

Bei diesem Wert der Funktion f(x), kann es sich um irgend eine Grösse handeln. Z.B  Temperatur, Geschwindigkeit, ein Betrag (z.B. in Dollar,$, oder Pfund, £)  die Bevölkerungsdichte oder irgend eine andere Messbare Grösse.

.Zur Funktion muss nicht eine mathematisch hergeleitete Formel gehören, meistens wird aber eine solche gesucht.

Ein Funktion lässt sich aber tabellarisch und graphisch darstellen.

Die Funktion für das Währungspaar EURO/USD (Euro gegeüber US$) ist die Funktion, das den Wert dieses Währungspaares in Euro zu einer bestimmten Zeit darstellt. Der Wert ergibt sich aufgrund der jeweiligen Marktverhältnisse. Eine Mathematische Formel lässt sich damit nicht herleiten, sonst gäbe es keine Märkte.

Hierbei  seien einige mathematische Funktionsformeln kurz aufgeführt:

 

Die Polynomfunktionen

f(x) = ax² + bx + c

kennen wir bereits als quadratische Gleichung und ist eine Gleichung 2. Grades, welche oben behandelt wurde.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Dies ist eine Funktion 3. Grades. Die Lösungsansätze wurden oben als Satz von Vieta vorgestellt.

 

Rationale Funktionen

f(x) =  [f1 (x)] / [f2 (x)] oder

f(x) =1 / f(x) z.B. f(x) = 1/x

weitere Beispiele:

• (x – a)/(b + x)
• 1/[1 + √(1 + ax)]
• 1/x,  siehe Skizze gleich unten: Dies ist eine Hyperbel

Zu beachten gilt, dass diese Funktionen Definitionslücken haben, der Nenner darf nicht null sein, da Division durch 0 „verboten“ ist.

 

Potenzfunktionen

f(x) = x ª

Der Exponent kann eine reelle Zahl sein (positiv oder negativ)

Graph

f(x) = x¹⁄ª = ª√x ist die Umkehrfunktion von xª bzw eine Wurzelfunktion.

 

Die Exponetialfunktion

f(x) = a exp x (sprich a hoch x)

Hier ist im Gegensatz zur Potenzfunktion die Variable x ein Exponent.

f(x) = e exp x (e hoch x) Exponentialfunktion mit Basis e

siehe Skizze unten

Funktion des Logarithmus naturalis ln

f(x) = lnx

Siehe Skizze unten

Die trigonometrischen Funktionen

f(x) = sinx,

f(x) = cosx,

f(x) = tanx 

f(x) = cotx

(vgl Kapitel Trigonometrie)

 

Die Ableitung

Wiederhole Grundlagen Differentialrechnung

Bevor wir uns mit Ableitungsregeln befassen, hier kurz wichtigste Begriffe wie:

• Grenzwert
• Differenzierbar
• Stetig

 

Grenzwert

Wir nehmen irgend eine mathematische Funktion mit einer Variablen, x, und setzen irgend eine feste Zahl, xo.

Unendlich nahe an xo wählen wir irgend eine Zahl x. (x < 0 oder x > 0)

Nun setzen wir xo und x in die Funktion ein und dividieren

f(x) – f(xo) / (x – xo)

 

xo ist fest, x ist variabel

Hierzu gleich ein praktisches Beispiel:

f(x) = x²

Diese Funktion ist eine Parabel

xo sei 3 und fest. Wir wählen unendlich nahe bei 3 die Zahl x. Gesucht ist der Grenzwert: Wenn x= 3, werden Zähler und Nenner = 0, dies ist sinnlos.

Was wenn x annähernd = 3, ist also z.B. x 0 2,99?

f(xo) = 3 hoch 2 = 9, f‘ (x) = 2.99 hoch 2 = 8.9401

f(x) – f‘(xo) = 9 – 8.9401 = -0.0599

x – xo = 2.99 – 3 = – 0.01

Als Grenzwert erhalten wir :

f(x) – f(xo) / (x – xo) = -.0599/0.01 = 5.99

Dasselbe Resultat erhält man auch wenn x = 3.01

Bei unendlicher Annäherung von x an xo kommt man immer näher an f‘(xo) = 5,999999999 = 6.

Allgemein formuliert

f(x) hat an der Stelle xo einen Grenzwert, g, (auch genannt Limes) wenn f(x) beliebig nahe bei g ist, für

x > xo und x < xo, aber x nicht gleich xo.

Man schreibt

Lim f(x) = g

x -> xo

(Lim, sprich Limes)

oder einfach:  f(x) -> g für x -> xo

Dieser Grenzwert, g, ist nichts anderes als die Tangentensteigung an der Stelle xo. Siehe Grundlagen Differentialrechnung.

und es ist die 1. Ableitung von f(x) und wird wie folgt definiert:

f'(xo) = lim [f(x) – f(xo)] / (x – xo)

x → xo

Gebräuchliche Symbole für die 1. Ableitung : f’(x), df/dx, z’, v′

Und für höhere Ableitungen, z.B. 2.Ableitung: f‘‘(x), df²/dx², z‘‘, v”

 

Differenzierbar und stetig

Hier kann nur das Wesentlichste erläutert werden.

Eine Funktion f(x) ist differenzierbar  an irgend einer Stelle x(o), wenn der Grenzwert f(x) –f(xo) / (x – xo) existiert.

Nicht differenzierbar ist eine Funktion

• Wo sie eine Definitionslücke hat z. B. 1/x an der Stelle xo = 0
• Dort wo der Graph senkrecht ist. Denn xo ist dort = xo und dies ergäbe Division durch null, was „verboten“ ist. Bei der Wurzelfunktion f(x) = 2 Wurzel (x) ist das bei xo = 0 der Fall
• Dort wo der Graph eine Ecke hat z.B f(x) = ΙxΙ + 2, x in Absolutstrichen.
• Die nicht stetig ist.

Nun zurück zum Grenzwert und zu Funktion f(x) = x²

Und wir sind bereits bei den Ableitungsregeln: Wenn wir in obige Formel zum Grenzwert anstelle von f(x) = x² und f(xo) = xo² einsetzen, erhält man

x² – xo² / (x – xo)

der binomische Satz lautet: a² -b² = (a-b)(a+b) und der Grenzwert von f(x) = x² lautet somit

f'(xo) = (x – xo)(x + xo) / (x – xo)

Lim x → xo

wir kürzen durch (x – xo) und erhalten f’ (x) = lim (x + xo)

Wenn sich x nun immer mehr an xo annähert, kann man quasi x + xo = xo + xo = 2xo

das entspricht der allgemeinen Ableitungsregel nx hoch n-1 = f ‘ (x)

 

Weiteres Beispiel:

f(x) = x³

Wir schreiben die obige Formel für den Grenzwert auf und setzen f (x) – f(xo) = x³ – xo³ ein

f ‘(x) = (x³ – xo³) / (x – xo)

x³ –xo³ kann man in folgende Faktoren zerlegen:

(x – xo)(x² + x*xo + xo²)

Wir kürzen f(x) durch (x – xo) und erhalten x² + x*xo + xo²

und können wiederholt sagen, wenn x sich immer näher an xo anschmiegt, kommt man immer näher an das Resultat x0² + xo² +xo² = 3xo² heran.

Auch dies entspricht der Ableitungsformel

n*x hoch n-1 bzw n*xexp (n-1)

 

Nicht alle Funktionen lassen sich algebraisch ableiten, weil dann immer wieder die Division durch Null im Wege steht. Bei der Herleitung helfen dann meist numerische Methoden, wie z.B. bei

f(x) = e hoch x und lnx

F  (x) = e hoch x

Wir schreiben die Grenzwertformel

F‘ (x) = (e hoch x – e hoch xo)/( x – xo)

und setzen

x0 = 2 und x = 1.99999, wir setzen nun diese Werte in die Grenzwertgleichung ein. Und erhalten

F‘(x) = .00738/.00001 = 7.389

E hoch 2 = 7.389

Wir führen dieselbe Rechnung mit xo = 3 durch und wählen für x = 2.99999

F ‘(3) = 2.00854/.00001 = 20.085

e hoch 3 = 20.085

Die Ableitung f ‘(x) = e hoch x ist e hoch x

e hoch x gehorcht nicht der Ableitungsregel n*x hoch n-1

 

Eine analoge Rechnung wird nun mit

f (x) = lnx

durchgeführt.

Wieder wählen wir xo = 2 und x = 1.99999

Und erhalten mithilfe der Grenzwertformel:

F‘ (2) = 0.000005/.00001= 0.5 = 1/2

Dasselbe mit xo = 3

F‘(3) = .000003333/.00001 = 0.333 = 1/3

Wie Sie soeben feststellen ist die Ableitung, f‘(x) von

F(x) = ln x, f ‘ (x)  = 1/x

Natürlich müssten mehr als 2 Beispiele numerisch durchgerechnet werden. 

 

Weitere Funktionen mit speziellen Ableitungen

Diese Liste ist nicht vollständig.

Bei den beiden letzten trigonometrischen Funktionen ist noch zu ergänzen, dass bei

tanx: x ≠ π/2 +n*π, n = 0,1,2,3…..

cotx: x ≠ n*π, 0,1,2,3…..

 

 

Anwendungen und Beispiele der Ableitungsregeln

Als spezielle Ableitungsregeln gelten auch die Summen- und die Differenzregel. 

Dabei werden die Summanden und diejenigen, die negativ sind, nach den allgemeinen Ableitungsregeln berechnet. Siehe Grundlagen Differentialrechnung.

f(x) = 3x² + 4x – 1

f ‘(x) = 6x + 4 – 0 = 6x + 4

 

Produkteregel

f(x) = e hoch x * cosx

f ‘(x) = e hoch x * cosx  + e hoch x * (-sinx)

f ‘(x) = e hoch x *(cosx – sinx)

Erläuterung: Ableitung  von e hoch x = e hoch x

Ableitung von cosx = -sinx

 

Quotientenregel

f (x) / g(x)

Falls nur der Nenner (unter dem Bruchstrich) mit einer Variablen versehen ist, gibt es hier noch eine weitere allgemeine Formel:

Wenn f (x) = 1 und g (x) = g(x) das heisst: f (x) = 1/g(x) Ableitung gemäss Formulierung der Quotientenregel (vgl. obige Liste) ergibt:

f ‘(x) = [0*g(x) – 1* g ‘(x)] / (g(x))² = – g ‘(x)/(g(x))²

Hiezu ein einfaches Beispiel: f(x) = 1/x bzw = x¯¹,  f ‘(x) = -1/x² gemäss Summenregel

f(x) = 1/x,  g(x) = x und somit g ‘(x) = 1 und g (x)² = x²

-g ‘(x)/(g(x))² = -1 / x² gemäss allgemeiner Quotientenregel mit Variablen im Nenner.

 

weiteres Beispiel:

f(u) = (u³ – 1)/(u² + 1)

Der Zähler, u³ – 1, wird wie bei der Differenzregel abgeleitet und beträgt 3u². Ableitung des Nenners = 2u

f ‘(u) = 3u²(u² + 1) – (u³ – 1)2u / (u² + 1)² = (u hoch 4 + 3u² + 2u) / (u² + 1)² 

 

Kettenregel

Bei der Kettenregel unterteilt man die Funktion, f(x) in eine

• äussere Funktion und eine
• innere Funktion

äussere und innere Funktionen werden abgeleitet.

Die Regel lautet dann lediglich:

Äussere Ableitung mal innere Ableitung

der Rest ist Übung.

2 einfache Beispiele, welche sich auch mittels Summen- und Differenzregel ableiten lassen:

f(x) = (x + 2)²

Ableitung mit Summenregel: (Jeder Summand einzeln ableiten)

f(x) = (x + 2)² = x² + 4x + 4

f ‘(x) = 2x + 4 = 2(x + 2)

Ableitung mit Kettenregel:

Äussere Funktion f(u) = u² , u = (x + 2)

Äussere Ableitung f ‘(u) = 2u

Innere Funktion, I(x) = x + 2

Innere Ableitung, I ‘(x) = 1

Äussere Ableitung mal innere Ableitung, f ‘ (u) * I ‘(x) = 2u*1 = 2u, = 2(x + 2)

 

Weiteres Beispiel:

f(x) = (x² – 2)² = x hoch 4 – 4x + 4

Ableitung mit Summen-/Differenzregel:

f ‘(x) = 4x³ – 8x = 4(x³ – 2x)

Ableitung mit Kettenregel:

Äussere Funktion f(u) = u², u = (x² – 2)²

Äussere Ableitung f ‘(u) = 2u

Innere Funktion, I(x) =  x² – 2

Innere Ableitung, I ‘(x) = 2x

Äussere Ableitung mal innere Ableitung, f ‘(u) * i ‘(x) = 2u*2x = 2(x² – 2)*2x = 4(x³ – 2x)

Weitere Beispiele finden Sie bei den Übungsaufgaben.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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